支持向量机实战篇之再撕非线性SVM(精品文章推荐)

作者:Jack-Cui

转载自:https://blog.csdn.net/c406495762/article/details/78158354


一、前言

上篇文章讲解的是线性SVM的推导过程以及简化版SMO算法的代码实现。本篇文章将讲解SMO算法的优化方法以及非线性SVM。

本文出现的所有代码,均可在我的github上下载,欢迎Follow、Star:github.com/Jack-Cherish

码文章的时候,正好是中秋佳节,祝各位中秋快乐!


二、SMO算法优化

在几百个点组成的小规模数据集上,简化版SMO算法的运行是没有什么问题的,但是在更大的数据集上的运行速度就会变慢。简化版SMO算法的第二个α的选择是随机的,针对这一问题,我们可以使用启发式选择第二个α值,来达到优化效果。

1、启发选择方式

下面这两个公式想必已经不再陌生:

在实现SMO算法的时候,先计算η,再更新 a_j 。为了加快第二个 α_j 乘子的迭代速度,需要让直线的斜率增大,对于 α_j 的更新公式,其中η值没有什么文章可做,于是只能令:

因此,我们可以明确自己的优化方法了:

  • 最外层循环,首先在样本中选择违反KKT条件的一个乘子作为最外层循环,然后用”启发式选择”选择另外一个乘子并进行这两个乘子的优化
  • 在非边界乘子中寻找使得 |E_i - E_j| 最大的样本
  • 如果没有找到,则从整个样本中随机选择一个样本

接下来,让我们看看完整版SMO算法如何实现。

2、完整版SMO算法

完整版Platt SMO算法是通过一个外循环来选择违反KKT条件的一个乘子,并且其选择过程会在这两种方式之间进行交替:

  • 在所有数据集上进行单遍扫描
  • 在非边界α中实现单遍扫描

非边界α指的就是那些不等于边界0或C的α值,并且跳过那些已知的不会改变的α值。所以我们要先建立这些α的列表,用于才能出α的更新状态。

在选择第一个α值后,算法会通过”启发选择方式”选择第二个α值。

3、编写代码

我们首先构建一个仅包含init方法的optStruct类,将其作为一个数据结构来使用,方便我们对于重要数据的维护。代码思路和之前的简化版SMO算法是相似的,不同之处在于增加了优化方法,如果上篇文章已经看懂,我想这个代码会很好理解。创建一个svm-smo.py文件,编写代码如下:

 

# -*-coding:utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random

"""
Author:
    Jack Cui
Blog:
    http://blog.csdn.net/c406495762
Zhihu:
    https://www.zhihu.com/people/Jack--Cui/
Modify:
    2017-10-03
"""

class optStruct:
    """
    数据结构,维护所有需要操作的值
    Parameters:
        dataMatIn - 数据矩阵
        classLabels - 数据标签
        C - 松弛变量
        toler - 容错率
    """
    def __init__(self, dataMatIn, classLabels, C, toler):
        self.X = dataMatIn                                #数据矩阵
        self.labelMat = classLabels                        #数据标签
        self.C = C                                         #松弛变量
        self.tol = toler                                 #容错率
        self.m = np.shape(dataMatIn)[0]                 #数据矩阵行数
        self.alphas = np.mat(np.zeros((self.m,1)))         #根据矩阵行数初始化alpha参数为0   
        self.b = 0                                         #初始化b参数为0
        self.eCache = np.mat(np.zeros((self.m,2)))         #根据矩阵行数初始化虎误差缓存,第一列为是否有效的标志位,第二列为实际的误差E的值。

def loadDataSet(fileName):
    """
    读取数据
    Parameters:
        fileName - 文件名
    Returns:
        dataMat - 数据矩阵
        labelMat - 数据标签
    """
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():                                     #逐行读取,滤除空格等
        lineArr = line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])      #添加数据
        labelMat.append(float(lineArr[2]))                          #添加标签
    return dataMat,labelMat

def calcEk(oS, k):
    """
    计算误差
    Parameters:
        oS - 数据结构
        k - 标号为k的数据
    Returns:
        Ek - 标号为k的数据误差
    """
    fXk = float(np.multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*(oS.X*oS.X[k,:].T) + oS.b)
    Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
    return Ek

def selectJrand(i, m):
    """
    函数说明:随机选择alpha_j的索引值

    Parameters:
        i - alpha_i的索引值
        m - alpha参数个数
    Returns:
        j - alpha_j的索引值
    """
    j = i                                 #选择一个不等于i的j
    while (j == i):
        j = int(random.uniform(0, m))
    return j

def selectJ(i, oS, Ei):
    """
    内循环启发方式2
    Parameters:
        i - 标号为i的数据的索引值
        oS - 数据结构
        Ei - 标号为i的数据误差
    Returns:
        j, maxK - 标号为j或maxK的数据的索引值
        Ej - 标号为j的数据误差
    """
    maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0                         #初始化
    oS.eCache[i] = [1,Ei]                                      #根据Ei更新误差缓存
    validEcacheList = np.nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0]        #返回误差不为0的数据的索引值
    if (len(validEcacheList)) > 1:                            #有不为0的误差
        for k in validEcacheList:                           #遍历,找到最大的Ek
            if k == i: continue                             #不计算i,浪费时间
            Ek = calcEk(oS, k)                                #计算Ek
            deltaE = abs(Ei - Ek)                            #计算|Ei-Ek|
            if (deltaE > maxDeltaE):                        #找到maxDeltaE
                maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek
        return maxK, Ej                                        #返回maxK,Ej
    else:                                                   #没有不为0的误差
        j = selectJrand(i, oS.m)                            #随机选择alpha_j的索引值
        Ej = calcEk(oS, j)                                    #计算Ej
    return j, Ej                                             #j,Ej

def updateEk(oS, k):
    """
    计算Ek,并更新误差缓存
    Parameters:
        oS - 数据结构
        k - 标号为k的数据的索引值
    Returns:
        无
    """
    Ek = calcEk(oS, k)                                        #计算Ek
    oS.eCache[k] = [1,Ek]                                    #更新误差缓存


def clipAlpha(aj,H,L):
    """
    修剪alpha_j
    Parameters:
        aj - alpha_j的值
        H - alpha上限
        L - alpha下限
    Returns:
        aj - 修剪后的alpah_j的值
    """
    if aj > H:
        aj = H
    if L > aj:
        aj = L
    return aj

def innerL(i, oS):
    """
    优化的SMO算法
    Parameters:
        i - 标号为i的数据的索引值
        oS - 数据结构
    Returns:
        1 - 有任意一对alpha值发生变化
        0 - 没有任意一对alpha值发生变化或变化太小
    """
    #步骤1:计算误差Ei
    Ei = calcEk(oS, i)
    #优化alpha,设定一定的容错率。
    if ((oS.labelMat[i] * Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i] * Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
        #使用内循环启发方式2选择alpha_j,并计算Ej
        j,Ej = selectJ(i, oS, Ei)
        #保存更新前的aplpha值,使用深拷贝
        alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alphaJold = oS.alphas[j].copy();
        #步骤2:计算上下界L和H
        if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
            L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
            H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
        else:
            L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
            H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
        if L == H:
            print("L==H")
            return 0
        #步骤3:计算eta
        eta = 2.0 * oS.X[i,:] * oS.X[j,:].T - oS.X[i,:] * oS.X[i,:].T - oS.X[j,:] * oS.X[j,:].T
        if eta >= 0:
            print("eta>=0")
            return 0
        #步骤4:更新alpha_j
        oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j] * (Ei - Ej)/eta
        #步骤5:修剪alpha_j
        oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
        #更新Ej至误差缓存
        updateEk(oS, j)
        if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):
            print("alpha_j变化太小")
            return 0
        #步骤6:更新alpha_i
        oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])
        #更新Ei至误差缓存
        updateEk(oS, i)
        #步骤7:更新b_1和b_2
        b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.X[i,:]*oS.X[i,:].T - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.X[i,:]*oS.X[j,:].T
        b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.X[i,:]*oS.X[j,:].T - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.X[j,:]*oS.X[j,:].T
        #步骤8:根据b_1和b_2更新b
        if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1
        elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]): oS.b = b2
        else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
        return 1
    else:
        return 0

def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
    """
    完整的线性SMO算法
    Parameters:
        dataMatIn - 数据矩阵
        classLabels - 数据标签
        C - 松弛变量
        toler - 容错率
        maxIter - 最大迭代次数
    Returns:
        oS.b - SMO算法计算的b
        oS.alphas - SMO算法计算的alphas
    """
    oS = optStruct(np.mat(dataMatIn), np.mat(classLabels).transpose(), C, toler)                    #初始化数据结构
    iter = 0                                                                                         #初始化当前迭代次数
    entireSet = True; alphaPairsChanged = 0
    while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):                            #遍历整个数据集都alpha也没有更新或者超过最大迭代次数,则退出循环
        alphaPairsChanged = 0
        if entireSet:                                                                                #遍历整个数据集                           
            for i in range(oS.m):       
                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)                                                    #使用优化的SMO算法
                print("全样本遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
            iter += 1
        else:                                                                                         #遍历非边界值
            nonBoundIs = np.nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0] #遍历不在边界0和C的alpha for i in nonBoundIs: alphaPairsChanged += innerL(i,oS) print("非边界遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged)) iter += 1 if entireSet: #遍历一次后改为非边界遍历 entireSet = False elif (alphaPairsChanged == 0): #如果alpha没有更新,计算全样本遍历 entireSet = True print("迭代次数: %d" % iter) return oS.b,oS.alphas #返回SMO算法计算的b和alphas def showClassifer(dataMat, classLabels, w, b): """ 分类结果可视化 Parameters: dataMat - 数据矩阵 w - 直线法向量 b - 直线解决 Returns: 无 """ #绘制样本点 data_plus = [] #正样本 data_minus = [] #负样本 for i in range(len(dataMat)): if classLabels[i] > 0:
            data_plus.append(dataMat[i])
        else:
            data_minus.append(dataMat[i])
    data_plus_np = np.array(data_plus)              #转换为numpy矩阵
    data_minus_np = np.array(data_minus)            #转换为numpy矩阵
    plt.scatter(np.transpose(data_plus_np)[0], np.transpose(data_plus_np)[1], s=30, alpha=0.7)   #正样本散点图
    plt.scatter(np.transpose(data_minus_np)[0], np.transpose(data_minus_np)[1], s=30, alpha=0.7) #负样本散点图
    #绘制直线
    x1 = max(dataMat)[0]
    x2 = min(dataMat)[0]
    a1, a2 = w
    b = float(b)
    a1 = float(a1[0])
    a2 = float(a2[0])
    y1, y2 = (-b- a1*x1)/a2, (-b - a1*x2)/a2
    plt.plot([x1, x2], [y1, y2])
    #找出支持向量点
    for i, alpha in enumerate(alphas):
        if abs(alpha) > 0:
            x, y = dataMat[i]
            plt.scatter([x], [y], s=150, c='none', alpha=0.7, linewidth=1.5, edgecolor='red')
    plt.show()


def calcWs(alphas,dataArr,classLabels):
    """
    计算w
    Parameters:
        dataArr - 数据矩阵
        classLabels - 数据标签
        alphas - alphas值
    Returns:
        w - 计算得到的w
    """
    X = np.mat(dataArr); labelMat = np.mat(classLabels).transpose()
    m,n = np.shape(X)
    w = np.zeros((n,1))
    for i in range(m):
        w += np.multiply(alphas[i]*labelMat[i],X[i,:].T)
    return w

if __name__ == '__main__':
    dataArr, classLabels = loadDataSet('testSet.txt')
    b, alphas = smoP(dataArr, classLabels, 0.6, 0.001, 40)
    w = calcWs(alphas,dataArr, classLabels)
    showClassifer(dataArr, classLabels, w, b)

 

完整版SMO算法(左图)与简化版SMO算法(右图)运行结果对比如下图所示:

图中画红圈的样本点为支持向量上的点,是满足算法的一种解。完整版SMO算法覆盖整个数据集进行计算,而简化版SMO算法是随机选择的。可以看出,完整版SMO算法选出的支持向量样点更多,更接近理想的分隔超平面。

对比两种算法的运算时间,我的测试结果是完整版SMO算法的速度比简化版SMO算法的速度快6倍左右。

其实,优化方法不仅仅是简单的启发式选择,还有其他优化方法,SMO算法速度还可以进一步提高。但是鉴于文章进度,这里不再进行展开。感兴趣的朋友,可以移步这里进行理论学习:cnblogs.com/zangrunqian


三、非线性SVM

1、核技巧

我们已经了解到,SVM如何处理线性可分的情况,而对于非线性的情况,SVM的处理方式就是选择一个核函数。简而言之:在线性不可分的情况下,SVM通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入变量映到一个高维特征空间,将其变成在高维空间线性可分,在这个高维空间中构造最优分类超平面。

根据上篇文章,线性可分的情况下,可知最终的超平面方程为:

将上述公式用内积来表示:

对于线性不可分,我们使用一个非线性映射,将数据映射到特征空间,在特征空间中使用线性学习器,分类函数变形如下:

其中ϕ从输入空间(X)到某个特征空间(F)的映射,这意味着建立非线性学习器分为两步:

  • 首先使用一个非线性映射将数据变换到一个特征空间F;
  • 然后在特征空间使用线性学习器分类。

如果有一种方法可以在特征空间中直接计算内积 <ϕ(x_i),ϕ(x)> ,就像在原始输入点的函数中一样,就有可能将两个步骤融合到一起建立一个分线性的学习器,这样直接计算的方法称为核函数方法。

这里直接给出一个定义:核是一个函数 k ,对所有 x,z∈X ,满足 k(x,z)=<ϕ(x_i),ϕ(x)> ,这里 ϕ(·) 是从原始输入空间X到内积空间F的映射。

简而言之:如果不是用核技术,就会先计算线性映 ϕ(x_1)ϕ(x_2) ,然后计算这它们的内积,使用了核技术之后,先把 ϕ(x_1)ϕ(x_2) 的一般表达式 <ϕ(x_1),ϕ(x_2)>=k(<ϕ(x_1),ϕ(x_2) >) 计算出来,这里的 <·,·> 表示内积, k(·,·) 就是对应的核函数,这个表达式往往非常简单,所以计算非常方便。

这种将内积替换成核函数的方式被称为核技巧(kernel trick)。

2、非线性数据处理

已经知道了核技巧是什么,但是为什么要这样做呢?我们先举一个简单的例子,进行说明。假设二维平面x-y上存在若干点,其中点集A服从 {x,y|x^2+y^2=1} ,点集B服从 {x,y|x^2+y^2=9} ,那么这些点在二维平面上的分布是这样的:

蓝色的是点集A,红色的是点集B,他们在xy平面上并不能线性可分,即用一条直线分割( 虽然肉眼是可以识别的) 。采用映射 (x,y)->(x,y,x^2+y^2) 后,在三维空间的点的分布为:

可见红色和蓝色的点被映射到了不同的平面,在更高维空间中是线性可分的(用一个平面去分割)。

上述例子中的样本点的分布遵循圆的分布。继续推广到椭圆的一般样本形式:

上图的两类数据分布为两个椭圆的形状,这样的数据本身就是不可分的。不难发现,这两个半径不同的椭圆是加上了少量的噪音生成得到的。所以,一个理想的分界应该也是一个椭圆,而不是一个直线。如果用X1和X2来表示这个二维平面的两个坐标的话,我们知道这个分界椭圆可以写为:

这个方程就是高中学过的椭圆一般方程。注意上面的形式,如果我们构造另外一个五维的空间,其中五个坐标的值分别为:

那么,显然我们可以将这个分界的椭圆方程写成如下形式:

这个关于新的坐标 Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5 的方程,就是一个超平面方程,它的维度是5。也就是说,如果我们做一个映射 ϕ : 二维 → 五维,将  X_1,X_2 按照上面的规则映射为 Z_1,Z_2,··· ,Z_5 ,那么在新的空间中原来的数据将变成线性可分的,从而使用之前我们推导的线性分类算法就可以进行处理了。

我们举个简单的计算例子,现在假设已知的映射函数为:

这个是一个从2维映射到5维的例子。如果没有使用核函数,根据上一小节的介绍,我们需要先结算映射后的结果,然后再进行内积运算。那么对于两个向量a1=(x1,x2)和a2=(y1,y2)有:

另外,如果我们不进行映射计算,直接运算下面的公式:

你会发现,这两个公式的计算结果是相同的。区别在于什么呢?

  • 一个是根据映射函数,映射到高维空间中,然后再根据内积的公式进行计算,计算量大;
  • 另一个则直接在原来的低维空间中进行计算,而不需要显式地写出映射后的结果,计算量小。

其实,在这个例子中,核函数就是:

我们通过 k(x_1,x_2) 的低维运算得到了先映射再内积的高维运算的结果,这就是核函数的神奇之处,它有效减少了我们的计算量。在这个例子中,我们对一个2维空间做映射,选择的新的空间是原始空间的所以一阶和二阶的组合,得到了5维的新空间;如果原始空间是3维的,那么我们会得到19维的新空间,这个数目是呈爆炸性增长的。如果我们使用 ϕ(·) 做映射计算,难度非常大,而且如果遇到无穷维的情况,就根本无从计算了。所以使用核函数进行计算是非常有必要的。

3、核技巧的实现

通过核技巧的转变,我们的分类函数变为:

我们的对偶问题变成了:

这样,我们就避开了高纬度空间中的计算。当然,我们刚刚的例子是非常简单的,我们可以手动构造出来对应映射的核函数出来,如果对于任意一个映射,要构造出对应的核函数就很困难了。因此,通常,人们会从一些常用的核函数中进行选择,根据问题和数据的不同,选择不同的参数,得到不同的核函数。接下来,要介绍的就是一个非常流行的核函数,那就是径向基核函数。

径向基核函数是SVM中常用的一个核函数。径向基核函数采用向量作为自变量的函数,能够基于向量举例运算输出一个标量。径向基核函数的高斯版本的公式如下:

其中,σ是用户自定义的用于确定到达率(reach)或者说函数值跌落到0的速度参数。上述高斯核函数将数据从原始空间映射到无穷维空间。关于无穷维空间,我们不必太担心。高斯核函数只是一个常用的核函数,使用者并不需要确切地理解数据到底是如何表现的,而且使用高斯核函数还会得到一个理想的结果。如果σ选得很大的话,高次特征上的权重实际上衰减得非常快,所以实际上(数值上近似一下)相当于一个低维的子空间;反过来,如果σ选得很小,则可以将任意的数据映射为线性可分——当然,这并不一定是好事,因为随之而来的可能是非常严重的过拟合问题。不过,总的来说,通过调控参数σ,高斯核实际上具有相当高的灵活性,也是使用最广泛的核函数之一。


四、编程实现非线性SVM

接下来,我们将使用testSetRBF.txt和testSetRBF2.txt,前者作为训练集,后者作为测试集。数据集下载地址:github.com/Jack-Cherish

1、可视化数据集

我们先编写程序简单看下数据集:

# -*-coding:utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def showDataSet(dataMat, labelMat):
    """
    数据可视化
    Parameters:
        dataMat - 数据矩阵
        labelMat - 数据标签
    Returns:
        无
    """
    data_plus = []                                  #正样本
    data_minus = []                                 #负样本
    for i in range(len(dataMat)):
        if labelMat[i] &amp;gt; 0:
            data_plus.append(dataMat[i])
        else:
            data_minus.append(dataMat[i])
    data_plus_np = np.array(data_plus)              #转换为numpy矩阵
    data_minus_np = np.array(data_minus)            #转换为numpy矩阵
    plt.scatter(np.transpose(data_plus_np)[0], np.transpose(data_plus_np)[1])   #正样本散点图
    plt.scatter(np.transpose(data_minus_np)[0], np.transpose(data_minus_np)[1]) #负样本散点图
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF.txt')                        #加载训练集
    showDataSet(dataArr, labelArr)

 

程序运行结果:

可见,数据明显是线性不可分的。下面我们根据公式,编写核函数,并增加初始化参数kTup用于存储核函数有关的信息,同时我们只要将之前的内积运算变成核函数的运算即可。最后编写testRbf()函数,用于测试。创建svmMLiA.py文件,编写代码如下:

 

# -*-coding:utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random

"""
Author:
    Jack Cui
Blog:
    http://blog.csdn.net/c406495762
Zhihu:
    https://www.zhihu.com/people/Jack--Cui/
Modify:
    2017-10-03
"""

class optStruct:
    """
    数据结构,维护所有需要操作的值
    Parameters:
        dataMatIn - 数据矩阵
        classLabels - 数据标签
        C - 松弛变量
        toler - 容错率
        kTup - 包含核函数信息的元组,第一个参数存放核函数类别,第二个参数存放必要的核函数需要用到的参数
    """
    def __init__(self, dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):
        self.X = dataMatIn                                #数据矩阵
        self.labelMat = classLabels                        #数据标签
        self.C = C                                         #松弛变量
        self.tol = toler                                 #容错率
        self.m = np.shape(dataMatIn)[0]                 #数据矩阵行数
        self.alphas = np.mat(np.zeros((self.m,1)))         #根据矩阵行数初始化alpha参数为0   
        self.b = 0                                         #初始化b参数为0
        self.eCache = np.mat(np.zeros((self.m,2)))         #根据矩阵行数初始化虎误差缓存,第一列为是否有效的标志位,第二列为实际的误差E的值。
        self.K = np.mat(np.zeros((self.m,self.m)))        #初始化核K
        for i in range(self.m):                            #计算所有数据的核K
            self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)

def kernelTrans(X, A, kTup):
    """
    通过核函数将数据转换更高维的空间
    Parameters:
        X - 数据矩阵
        A - 单个数据的向量
        kTup - 包含核函数信息的元组
    Returns:
        K - 计算的核K
    """
    m,n = np.shape(X)
    K = np.mat(np.zeros((m,1)))
    if kTup[0] == 'lin': K = X * A.T                       #线性核函数,只进行内积。
    elif kTup[0] == 'rbf':                                 #高斯核函数,根据高斯核函数公式进行计算
        for j in range(m):
            deltaRow = X[j,:] - A
            K[j] = deltaRow*deltaRow.T
        K = np.exp(K/(-1*kTup[1]**2))                     #计算高斯核K
    else: raise NameError('核函数无法识别')
    return K                                             #返回计算的核K

def loadDataSet(fileName):
    """
    读取数据
    Parameters:
        fileName - 文件名
    Returns:
        dataMat - 数据矩阵
        labelMat - 数据标签
    """
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():                                     #逐行读取,滤除空格等
        lineArr = line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])      #添加数据
        labelMat.append(float(lineArr[2]))                          #添加标签
    return dataMat,labelMat

def calcEk(oS, k):
    """
    计算误差
    Parameters:
        oS - 数据结构
        k - 标号为k的数据
    Returns:
        Ek - 标号为k的数据误差
    """
    fXk = float(np.multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*oS.K[:,k] + oS.b)
    Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
    return Ek

def selectJrand(i, m):
    """
    函数说明:随机选择alpha_j的索引值

    Parameters:
        i - alpha_i的索引值
        m - alpha参数个数
    Returns:
        j - alpha_j的索引值
    """
    j = i                                 #选择一个不等于i的j
    while (j == i):
        j = int(random.uniform(0, m))
    return j

def selectJ(i, oS, Ei):
    """
    内循环启发方式2
    Parameters:
        i - 标号为i的数据的索引值
        oS - 数据结构
        Ei - 标号为i的数据误差
    Returns:
        j, maxK - 标号为j或maxK的数据的索引值
        Ej - 标号为j的数据误差
    """
    maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0                         #初始化
    oS.eCache[i] = [1,Ei]                                      #根据Ei更新误差缓存
    validEcacheList = np.nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0]        #返回误差不为0的数据的索引值
    if (len(validEcacheList)) &amp;gt; 1:                            #有不为0的误差
        for k in validEcacheList:                           #遍历,找到最大的Ek
            if k == i: continue                             #不计算i,浪费时间
            Ek = calcEk(oS, k)                                #计算Ek
            deltaE = abs(Ei - Ek)                            #计算|Ei-Ek|
            if (deltaE &amp;gt; maxDeltaE):                        #找到maxDeltaE
                maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek
        return maxK, Ej                                        #返回maxK,Ej
    else:                                                   #没有不为0的误差
        j = selectJrand(i, oS.m)                            #随机选择alpha_j的索引值
        Ej = calcEk(oS, j)                                    #计算Ej
    return j, Ej                                             #j,Ej

def updateEk(oS, k):
    """
    计算Ek,并更新误差缓存
    Parameters:
        oS - 数据结构
        k - 标号为k的数据的索引值
    Returns:
        无
    """
    Ek = calcEk(oS, k)                                        #计算Ek
    oS.eCache[k] = [1,Ek]                                    #更新误差缓存

def clipAlpha(aj,H,L):
    """
    修剪alpha_j
    Parameters:
        aj - alpha_j的值
        H - alpha上限
        L - alpha下限
    Returns:
        aj - 修剪后的alpah_j的值
    """
    if aj &amp;gt; H:
        aj = H
    if L &amp;gt; aj:
        aj = L
    return aj

def innerL(i, oS):
    """
    优化的SMO算法
    Parameters:
        i - 标号为i的数据的索引值
        oS - 数据结构
    Returns:
        1 - 有任意一对alpha值发生变化
        0 - 没有任意一对alpha值发生变化或变化太小
    """
    #步骤1:计算误差Ei
    Ei = calcEk(oS, i)
    #优化alpha,设定一定的容错率。
    if ((oS.labelMat[i] * Ei &amp;lt; -oS.tol) and (oS.alphas[i] &amp;lt; oS.C)) or ((oS.labelMat[i] * Ei &amp;gt; oS.tol) and (oS.alphas[i] &amp;gt; 0)):
        #使用内循环启发方式2选择alpha_j,并计算Ej
        j,Ej = selectJ(i, oS, Ei)
        #保存更新前的aplpha值,使用深拷贝
        alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alphaJold = oS.alphas[j].copy();
        #步骤2:计算上下界L和H
        if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
            L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
            H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
        else:
            L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
            H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
        if L == H:
            print("L==H")
            return 0
        #步骤3:计算eta
        eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j]
        if eta &amp;gt;= 0:
            print("eta&amp;gt;=0")
            return 0
        #步骤4:更新alpha_j
        oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j] * (Ei - Ej)/eta
        #步骤5:修剪alpha_j
        oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
        #更新Ej至误差缓存
        updateEk(oS, j)
        if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) &amp;lt; 0.00001):
            print("alpha_j变化太小")
            return 0
        #步骤6:更新alpha_i
        oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])
        #更新Ei至误差缓存
        updateEk(oS, i)
        #步骤7:更新b_1和b_2
        b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]
        b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]
        #步骤8:根据b_1和b_2更新b
        if (0 &amp;lt; oS.alphas[i]) and (oS.C &amp;gt; oS.alphas[i]): oS.b = b1
        elif (0 &amp;lt; oS.alphas[j]) and (oS.C &amp;gt; oS.alphas[j]): oS.b = b2
        else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
        return 1
    else:
        return 0

def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter, kTup = ('lin',0)):
    """
    完整的线性SMO算法
    Parameters:
        dataMatIn - 数据矩阵
        classLabels - 数据标签
        C - 松弛变量
        toler - 容错率
        maxIter - 最大迭代次数
        kTup - 包含核函数信息的元组
    Returns:
        oS.b - SMO算法计算的b
        oS.alphas - SMO算法计算的alphas
    """
    oS = optStruct(np.mat(dataMatIn), np.mat(classLabels).transpose(), C, toler, kTup)                #初始化数据结构
    iter = 0                                                                                         #初始化当前迭代次数
    entireSet = True; alphaPairsChanged = 0
    while (iter &amp;lt; maxIter) and ((alphaPairsChanged &amp;gt; 0) or (entireSet)):                            #遍历整个数据集都alpha也没有更新或者超过最大迭代次数,则退出循环
        alphaPairsChanged = 0
        if entireSet:                                                                                #遍历整个数据集                           
            for i in range(oS.m):       
                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)                                                    #使用优化的SMO算法
                print("全样本遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
            iter += 1
        else:                                                                                         #遍历非边界值
            nonBoundIs = np.nonzero((oS.alphas.A &amp;gt; 0) * (oS.alphas.A &amp;lt; C))[0] #遍历不在边界0和C的alpha for i in nonBoundIs: alphaPairsChanged += innerL(i,oS) print("非边界遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged)) iter += 1 if entireSet: #遍历一次后改为非边界遍历 entireSet = False elif (alphaPairsChanged == 0): #如果alpha没有更新,计算全样本遍历 entireSet = True print("迭代次数: %d" % iter) return oS.b,oS.alphas #返回SMO算法计算的b和alphas def testRbf(k1 = 1.3): """ 测试函数 Parameters: k1 - 使用高斯核函数的时候表示到达率 Returns: 无 """ dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF.txt') #加载训练集 b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 100, ('rbf', k1)) #根据训练集计算b和alphas datMat = np.mat(dataArr); labelMat = np.mat(labelArr).transpose() svInd = np.nonzero(alphas.A &amp;gt; 0)[0]                                        #获得支持向量
    sVs = datMat[svInd]                                                     
    labelSV = labelMat[svInd];
    print("支持向量个数:%d" % np.shape(sVs)[0])
    m,n = np.shape(datMat)
    errorCount = 0
    for i in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1))                #计算各个点的核
        predict = kernelEval.T * np.multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b     #根据支持向量的点,计算超平面,返回预测结果
        if np.sign(predict) != np.sign(labelArr[i]): errorCount += 1        #返回数组中各元素的正负符号,用1和-1表示,并统计错误个数
    print("训练集错误率: %.2f%%" % ((float(errorCount)/m)*100))             #打印错误率
    dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF2.txt')                         #加载测试集
    errorCount = 0
    datMat = np.mat(dataArr); labelMat = np.mat(labelArr).transpose()         
    m,n = np.shape(datMat)
    for i in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1))                 #计算各个点的核           
        predict=kernelEval.T * np.multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b         #根据支持向量的点,计算超平面,返回预测结果
        if np.sign(predict) != np.sign(labelArr[i]): errorCount += 1        #返回数组中各元素的正负符号,用1和-1表示,并统计错误个数
    print("测试集错误率: %.2f%%" % ((float(errorCount)/m)*100))             #打印错误率

def showDataSet(dataMat, labelMat):
    """
    数据可视化
    Parameters:
        dataMat - 数据矩阵
        labelMat - 数据标签
    Returns:
        无
    """
    data_plus = []                                  #正样本
    data_minus = []                                 #负样本
    for i in range(len(dataMat)):
        if labelMat[i] &amp;gt; 0:
            data_plus.append(dataMat[i])
        else:
            data_minus.append(dataMat[i])
    data_plus_np = np.array(data_plus)              #转换为numpy矩阵
    data_minus_np = np.array(data_minus)            #转换为numpy矩阵
    plt.scatter(np.transpose(data_plus_np)[0], np.transpose(data_plus_np)[1])   #正样本散点图
    plt.scatter(np.transpose(data_minus_np)[0], np.transpose(data_minus_np)[1]) #负样本散点图
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    testRbf()

 

运行结果如下图所示:

可以看到,训练集错误率为1%,测试集错误率都是4%,训练耗时1.7s 。可以尝试更换不同的K1参数以观察测试错误率、训练错误率、支持向量个数随k1的变化情况。你会发现K1过大,会出现过拟合的情况,即训练集错误率低,但是测试集错误率高。


五、Sklearn构建SVM分类器

在第一篇文章中,我们使用了kNN进行手写数字识别。它的缺点是存储空间大,因为要保留所有的训练样本,如果你的老板让你节约这个内存空间,并达到相同的识别效果,甚至更好。那这个时候,我们就要可以使用SVM了,因为它只需要保留支持向量即可,而且能获得可比的效果。

使用的数据集还是kNN用到的数据集(testDigits和trainingDigits):github.com/Jack-Cherish

如果对这个数据集不了解的,可以先看看我的第一篇文章:

CSDN:blog.csdn.net/c40649576

知乎:zhuanlan.zhihu.com/p/28

首先,我们先使用自己用python写的代码进行训练。创建文件svm-digits.py文件,编写代码如下:

 

# -*-coding:utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random

"""
Author:
    Jack Cui
Blog:
    http://blog.csdn.net/c406495762
Zhihu:
    https://www.zhihu.com/people/Jack--Cui/
Modify:
    2017-10-03
"""

class optStruct:
    """
    数据结构,维护所有需要操作的值
    Parameters:
        dataMatIn - 数据矩阵
        classLabels - 数据标签
        C - 松弛变量
        toler - 容错率
        kTup - 包含核函数信息的元组,第一个参数存放核函数类别,第二个参数存放必要的核函数需要用到的参数
    """
    def __init__(self, dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):
        self.X = dataMatIn                                #数据矩阵
        self.labelMat = classLabels                        #数据标签
        self.C = C                                         #松弛变量
        self.tol = toler                                 #容错率
        self.m = np.shape(dataMatIn)[0]                 #数据矩阵行数
        self.alphas = np.mat(np.zeros((self.m,1)))         #根据矩阵行数初始化alpha参数为0   
        self.b = 0                                         #初始化b参数为0
        self.eCache = np.mat(np.zeros((self.m,2)))         #根据矩阵行数初始化虎误差缓存,第一列为是否有效的标志位,第二列为实际的误差E的值。
        self.K = np.mat(np.zeros((self.m,self.m)))        #初始化核K
        for i in range(self.m):                            #计算所有数据的核K
            self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)

def kernelTrans(X, A, kTup):
    """
    通过核函数将数据转换更高维的空间
    Parameters:
        X - 数据矩阵
        A - 单个数据的向量
        kTup - 包含核函数信息的元组
    Returns:
        K - 计算的核K
    """
    m,n = np.shape(X)
    K = np.mat(np.zeros((m,1)))
    if kTup[0] == 'lin': K = X * A.T                       #线性核函数,只进行内积。
    elif kTup[0] == 'rbf':                                 #高斯核函数,根据高斯核函数公式进行计算
        for j in range(m):
            deltaRow = X[j,:] - A
            K[j] = deltaRow*deltaRow.T
        K = np.exp(K/(-1*kTup[1]**2))                     #计算高斯核K
    else: raise NameError('核函数无法识别')
    return K                                             #返回计算的核K

def loadDataSet(fileName):
    """
    读取数据
    Parameters:
        fileName - 文件名
    Returns:
        dataMat - 数据矩阵
        labelMat - 数据标签
    """
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():                                     #逐行读取,滤除空格等
        lineArr = line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])      #添加数据
        labelMat.append(float(lineArr[2]))                          #添加标签
    return dataMat,labelMat

def calcEk(oS, k):
    """
    计算误差
    Parameters:
        oS - 数据结构
        k - 标号为k的数据
    Returns:
        Ek - 标号为k的数据误差
    """
    fXk = float(np.multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*oS.K[:,k] + oS.b)
    Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
    return Ek

def selectJrand(i, m):
    """
    函数说明:随机选择alpha_j的索引值

    Parameters:
        i - alpha_i的索引值
        m - alpha参数个数
    Returns:
        j - alpha_j的索引值
    """
    j = i                                 #选择一个不等于i的j
    while (j == i):
        j = int(random.uniform(0, m))
    return j

def selectJ(i, oS, Ei):
    """
    内循环启发方式2
    Parameters:
        i - 标号为i的数据的索引值
        oS - 数据结构
        Ei - 标号为i的数据误差
    Returns:
        j, maxK - 标号为j或maxK的数据的索引值
        Ej - 标号为j的数据误差
    """
    maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0                         #初始化
    oS.eCache[i] = [1,Ei]                                      #根据Ei更新误差缓存
    validEcacheList = np.nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0]        #返回误差不为0的数据的索引值
    if (len(validEcacheList)) &amp;gt; 1:                            #有不为0的误差
        for k in validEcacheList:                           #遍历,找到最大的Ek
            if k == i: continue                             #不计算i,浪费时间
            Ek = calcEk(oS, k)                                #计算Ek
            deltaE = abs(Ei - Ek)                            #计算|Ei-Ek|
            if (deltaE &amp;gt; maxDeltaE):                        #找到maxDeltaE
                maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek
        return maxK, Ej                                        #返回maxK,Ej
    else:                                                   #没有不为0的误差
        j = selectJrand(i, oS.m)                            #随机选择alpha_j的索引值
        Ej = calcEk(oS, j)                                    #计算Ej
    return j, Ej                                             #j,Ej

def updateEk(oS, k):
    """
    计算Ek,并更新误差缓存
    Parameters:
        oS - 数据结构
        k - 标号为k的数据的索引值
    Returns:
        无
    """
    Ek = calcEk(oS, k)                                        #计算Ek
    oS.eCache[k] = [1,Ek]                                    #更新误差缓存


def clipAlpha(aj,H,L):
    """
    修剪alpha_j
    Parameters:
        aj - alpha_j的值
        H - alpha上限
        L - alpha下限
    Returns:
        aj - 修剪后的alpah_j的值
    """
    if aj &amp;gt; H:
        aj = H
    if L &amp;gt; aj:
        aj = L
    return aj

def innerL(i, oS):
    """
    优化的SMO算法
    Parameters:
        i - 标号为i的数据的索引值
        oS - 数据结构
    Returns:
        1 - 有任意一对alpha值发生变化
        0 - 没有任意一对alpha值发生变化或变化太小
    """
    #步骤1:计算误差Ei
    Ei = calcEk(oS, i)
    #优化alpha,设定一定的容错率。
    if ((oS.labelMat[i] * Ei &amp;lt; -oS.tol) and (oS.alphas[i] &amp;lt; oS.C)) or ((oS.labelMat[i] * Ei &amp;gt; oS.tol) and (oS.alphas[i] &amp;gt; 0)):
        #使用内循环启发方式2选择alpha_j,并计算Ej
        j,Ej = selectJ(i, oS, Ei)
        #保存更新前的aplpha值,使用深拷贝
        alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alphaJold = oS.alphas[j].copy();
        #步骤2:计算上下界L和H
        if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
            L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
            H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
        else:
            L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
            H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
        if L == H:
            print("L==H")
            return 0
        #步骤3:计算eta
        eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j]
        if eta &amp;gt;= 0:
            print("eta&amp;gt;=0")
            return 0
        #步骤4:更新alpha_j
        oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j] * (Ei - Ej)/eta
        #步骤5:修剪alpha_j
        oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
        #更新Ej至误差缓存
        updateEk(oS, j)
        if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) &amp;lt; 0.00001):
            print("alpha_j变化太小")
            return 0
        #步骤6:更新alpha_i
        oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])
        #更新Ei至误差缓存
        updateEk(oS, i)
        #步骤7:更新b_1和b_2
        b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]
        b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]
        #步骤8:根据b_1和b_2更新b
        if (0 &amp;lt; oS.alphas[i]) and (oS.C &amp;gt; oS.alphas[i]): oS.b = b1
        elif (0 &amp;lt; oS.alphas[j]) and (oS.C &amp;gt; oS.alphas[j]): oS.b = b2
        else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
        return 1
    else:
        return 0

def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter, kTup = ('lin',0)):
    """
    完整的线性SMO算法
    Parameters:
        dataMatIn - 数据矩阵
        classLabels - 数据标签
        C - 松弛变量
        toler - 容错率
        maxIter - 最大迭代次数
        kTup - 包含核函数信息的元组
    Returns:
        oS.b - SMO算法计算的b
        oS.alphas - SMO算法计算的alphas
    """
    oS = optStruct(np.mat(dataMatIn), np.mat(classLabels).transpose(), C, toler, kTup)                #初始化数据结构
    iter = 0                                                                                         #初始化当前迭代次数
    entireSet = True; alphaPairsChanged = 0
    while (iter &amp;lt; maxIter) and ((alphaPairsChanged &amp;gt; 0) or (entireSet)):                            #遍历整个数据集都alpha也没有更新或者超过最大迭代次数,则退出循环
        alphaPairsChanged = 0
        if entireSet:                                                                                #遍历整个数据集                           
            for i in range(oS.m):       
                alphaPairsChanged += innerL(i,oS)                                                    #使用优化的SMO算法
                print("全样本遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
            iter += 1
        else:                                                                                         #遍历非边界值
            nonBoundIs = np.nonzero((oS.alphas.A &amp;gt; 0) * (oS.alphas.A &amp;lt; C))[0] #遍历不在边界0和C的alpha for i in nonBoundIs: alphaPairsChanged += innerL(i,oS) print("非边界遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged)) iter += 1 if entireSet: #遍历一次后改为非边界遍历 entireSet = False elif (alphaPairsChanged == 0): #如果alpha没有更新,计算全样本遍历 entireSet = True print("迭代次数: %d" % iter) return oS.b,oS.alphas #返回SMO算法计算的b和alphas def img2vector(filename): """ 将32x32的二进制图像转换为1x1024向量。 Parameters: filename - 文件名 Returns: returnVect - 返回的二进制图像的1x1024向量 """ returnVect = np.zeros((1,1024)) fr = open(filename) for i in range(32): lineStr = fr.readline() for j in range(32): returnVect[0,32*i+j] = int(lineStr[j]) return returnVect def loadImages(dirName): """ 加载图片 Parameters: dirName - 文件夹的名字 Returns: trainingMat - 数据矩阵 hwLabels - 数据标签 """ from os import listdir hwLabels = [] trainingFileList = listdir(dirName) m = len(trainingFileList) trainingMat = np.zeros((m,1024)) for i in range(m): fileNameStr = trainingFileList[i] fileStr = fileNameStr.split('.')[0] classNumStr = int(fileStr.split('_')[0]) if classNumStr == 9: hwLabels.append(-1) else: hwLabels.append(1) trainingMat[i,:] = img2vector('%s/%s' % (dirName, fileNameStr)) return trainingMat, hwLabels def testDigits(kTup=('rbf', 10)): """ 测试函数 Parameters: kTup - 包含核函数信息的元组 Returns: 无 """ dataArr,labelArr = loadImages('trainingDigits') b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10, kTup) datMat = np.mat(dataArr); labelMat = np.mat(labelArr).transpose() svInd = np.nonzero(alphas.A&amp;gt;0)[0]
    sVs=datMat[svInd]
    labelSV = labelMat[svInd];
    print("支持向量个数:%d" % np.shape(sVs)[0])
    m,n = np.shape(datMat)
    errorCount = 0
    for i in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],kTup)
        predict=kernelEval.T * np.multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
        if np.sign(predict) != np.sign(labelArr[i]): errorCount += 1
    print("训练集错误率: %.2f%%" % (float(errorCount)/m))
    dataArr,labelArr = loadImages('testDigits')
    errorCount = 0
    datMat = np.mat(dataArr); labelMat = np.mat(labelArr).transpose()
    m,n = np.shape(datMat)
    for i in range(m):
        kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],kTup)
        predict=kernelEval.T * np.multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
        if np.sign(predict) != np.sign(labelArr[i]): errorCount += 1   
    print("测试集错误率: %.2f%%" % (float(errorCount)/m))

if __name__ == '__main__':
    testDigits()

 

SMO算法实现部分跟上文是一样的,我们新创建了img2vector()、loadImages()、testDigits()函数,它们分别用于二进制图形转换、图片加载、训练SVM分类器。我们自己的SVM分类器是个二类分类器,所以在设置标签的时候,将9作为负类,其余的0-8作为正类,进行训练。这是一种’ovr’思想,即one vs rest,就是对一个类别和剩余所有的类别进行分类。如果想实现10个数字的识别,一个简单的方法是,训练出10个分类器。这里简单起见,只训练了一个用于分类9和其余所有数字的分类器,运行结果如下:

可以看到,虽然我们进行了所谓的“优化”,但是训练仍然很耗时,迭代10次,花费了307.4s。因为我们没有多进程、没有设置自动的终止条件,总之一句话,需要优化的地方太多了。尽管如此,我们训练后得到的结果还是不错的,可以看到训练集错误率为0,测试集错误率也仅为0.01%。

接下来,就是讲解本文的重头戏:sklearn.svm.SVC。

1、sklearn.svm.SVC

官方英文文档手册:scikit-learn.org/stable

sklearn.svm模块提供了很多模型供我们使用,本文使用的是svm.SVC,它是基于libsvm实现的。

让我们先看下SVC这个函数,一共有14个参数:

参数说明如下:

  • C:惩罚项,float类型,可选参数,默认为1.0,C越大,即对分错样本的惩罚程度越大,因此在训练样本中准确率越高,但是泛化能力降低,也就是对测试数据的分类准确率降低。相反,减小C的话,容许训练样本中有一些误分类错误样本,泛化能力强。对于训练样本带有噪声的情况,一般采用后者,把训练样本集中错误分类的样本作为噪声。
  • kernel:核函数类型,str类型,默认为’rbf’。可选参数为:
    • ‘linear’:线性核函数
    • ‘poly’:多项式核函数
    • ‘rbf’:径像核函数/高斯核
    • ‘sigmod’:sigmod核函数
    • ‘precomputed’:核矩阵
    • precomputed表示自己提前计算好核函数矩阵,这时候算法内部就不再用核函数去计算核矩阵,而是直接用你给的核矩阵,核矩阵需要为n*n的。
  • degree:多项式核函数的阶数,int类型,可选参数,默认为3。这个参数只对多项式核函数有用,是指多项式核函数的阶数n,如果给的核函数参数是其他核函数,则会自动忽略该参数。
  • gamma:核函数系数,float类型,可选参数,默认为auto。只对’rbf’ ,’poly’ ,’sigmod’有效。如果gamma为auto,代表其值为样本特征数的倒数,即1/n_features。
  • coef0:核函数中的独立项,float类型,可选参数,默认为0.0。只有对’poly’ 和,’sigmod’核函数有用,是指其中的参数c。
  • probability:是否启用概率估计,bool类型,可选参数,默认为False,这必须在调用fit()之前启用,并且会fit()方法速度变慢。
  • shrinking:是否采用启发式收缩方式,bool类型,可选参数,默认为True。
  • tol:svm停止训练的误差精度,float类型,可选参数,默认为1e^-3。
  • cache_size:内存大小,float类型,可选参数,默认为200。指定训练所需要的内存,以MB为单位,默认为200MB。
  • class_weight:类别权重,dict类型或str类型,可选参数,默认为None。给每个类别分别设置不同的惩罚参数C,如果没有给,则会给所有类别都给C=1,即前面参数指出的参数C。如果给定参数’balance’,则使用y的值自动调整与输入数据中的类频率成反比的权重。
  • verbose:是否启用详细输出,bool类型,默认为False,此设置利用libsvm中的每个进程运行时设置,如果启用,可能无法在多线程上下文中正常工作。一般情况都设为False,不用管它。
  • max_iter:最大迭代次数,int类型,默认为-1,表示不限制。
  • decision_function_shape:决策函数类型,可选参数’ovo’和’ovr’,默认为’ovr’。’ovo’表示one vs one,’ovr’表示one vs rest。
  • random_state:数据洗牌时的种子值,int类型,可选参数,默认为None。伪随机数发生器的种子,在混洗数据时用于概率估计。

其实,只要自己写了SMO算法,每个参数的意思,大概都是能明白的。

2、编写代码

SVC很是强大,我们不用理解算法实现的具体细节,不用理解算法的优化方法。同时,它也满足我们的多分类需求。创建文件svm-svc.py文件,编写代码如下:

# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np
import operator
from os import listdir
from sklearn.svm import SVC

"""
Author:
    Jack Cui
Blog:
    http://blog.csdn.net/c406495762
Zhihu:
    https://www.zhihu.com/people/Jack--Cui/
Modify:
    2017-10-04
"""

def img2vector(filename):
    """
    将32x32的二进制图像转换为1x1024向量。
    Parameters:
        filename - 文件名
    Returns:
        returnVect - 返回的二进制图像的1x1024向量
    """
    #创建1x1024零向量
    returnVect = np.zeros((1, 1024))
    #打开文件
    fr = open(filename)
    #按行读取
    for i in range(32):
        #读一行数据
        lineStr = fr.readline()
        #每一行的前32个元素依次添加到returnVect中
        for j in range(32):
            returnVect[0, 32*i+j] = int(lineStr[j])
    #返回转换后的1x1024向量
    return returnVect

def handwritingClassTest():
    """
    手写数字分类测试
    Parameters:
        无
    Returns:
        无
    """
    #测试集的Labels
    hwLabels = []
    #返回trainingDigits目录下的文件名
    trainingFileList = listdir('trainingDigits')
    #返回文件夹下文件的个数
    m = len(trainingFileList)
    #初始化训练的Mat矩阵,测试集
    trainingMat = np.zeros((m, 1024))
    #从文件名中解析出训练集的类别
    for i in range(m):
        #获得文件的名字
        fileNameStr = trainingFileList[i]
        #获得分类的数字
        classNumber = int(fileNameStr.split('_')[0])
        #将获得的类别添加到hwLabels中
        hwLabels.append(classNumber)
        #将每一个文件的1x1024数据存储到trainingMat矩阵中
        trainingMat[i,:] = img2vector('trainingDigits/%s' % (fileNameStr))
    clf = SVC(C=200,kernel='rbf')
    clf.fit(trainingMat,hwLabels)
    #返回testDigits目录下的文件列表
    testFileList = listdir('testDigits')
    #错误检测计数
    errorCount = 0.0
    #测试数据的数量
    mTest = len(testFileList)
    #从文件中解析出测试集的类别并进行分类测试
    for i in range(mTest):
        #获得文件的名字
        fileNameStr = testFileList[i]
        #获得分类的数字
        classNumber = int(fileNameStr.split('_')[0])
        #获得测试集的1x1024向量,用于训练
        vectorUnderTest = img2vector('testDigits/%s' % (fileNameStr))
        #获得预测结果
        # classifierResult = classify0(vectorUnderTest, trainingMat, hwLabels, 3)
        classifierResult = clf.predict(vectorUnderTest)
        print("分类返回结果为%d\t真实结果为%d" % (classifierResult, classNumber))
        if(classifierResult != classNumber):
            errorCount += 1.0
    print("总共错了%d个数据\n错误率为%f%%" % (errorCount, errorCount/mTest * 100))

if __name__ == '__main__':
    handwritingClassTest()

 

代码和kNN的实现是差不多的,就是换了个分类器而已。运行结果如下:

可以看到,训练和测试的时间总共加起来才7.3s。而且,测试集的错误率仅为1.37%。试着改变SVC的参数,慢慢体会一下吧~


六、总结

1、SVM的优缺点

优点

  • 可用于线性/非线性分类,也可以用于回归,泛化错误率低,也就是说具有良好的学习能力,且学到的结果具有很好的推广性。
  • 可以解决小样本情况下的机器学习问题,可以解决高维问题,可以避免神经网络结构选择和局部极小点问题。
  • SVM是最好的现成的分类器,现成是指不加修改可直接使用。并且能够得到较低的错误率,SVM可以对训练集之外的数据点做很好的分类决策。

缺点

  • 对参数调节和和函数的选择敏感。

机器学习知乎专栏:zhuanlan.zhihu.com/ml-j

CSDN博客专栏:blog.csdn.net/column/de

Github代码获取:github.com/Jack-Cherish

Python版本: Python3.x

运行平台: Windows

IDE: Sublime text3

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